Глава 92. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд

1. Отбрасывание конечного числа членов ряда Не влияет на сходимость (расходимость) ряда. Действительно, все частичные суммы ряда, начиная с некоторой, изменятся на одно и то же постоянное число, равное сумме отбрасываемых членов.

2. Если ряд (9.1.1) сходится и имеет сумму , то Сходится также и ряд , где – постоянное число, причем сумма этого ряда равна .
Это утверждение следует из соответствующего свойства сходящихся последовательностей.

3. Если ряды и сходятся и суммы их соответственно равны и , то и ряд также Сходится, причем его Сумма равна .
Справедливость этого утверждения также следует из свойств сходящихся последовательностей частичных сумм и .

4. Общий член сходящегося ряда Стремится к нулю при .

Действительно, и, поскольку ряд сходится, и при .

Отсюда и следует справедливость данного свойства, которое часто называют необходимым условием сходимости ряда. Если оно не соблюдается, то ряд заведомо расходится.

Например, ряд заведомо расходится, так как .

Следует заметить, что свойство 4 не является достаточным.

Рассмотрим ряд . Необходимое условие сходимости выполняется ( при ), однако его частичная сумма стремится к бесконечности вместе с n, т. е. ряд Расходится.

Ряд

(9.2.1)

Называется Гармоническим рядом.

Частичная сумма данного ряда неограниченно возрастает, т. е. гармонический ряд Расходится.

< Предыдущая		Следующая >