Глава 72. Методы интегрирования. Метод замены переменной

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенных интегралов к табличным. Такой прием называется Методом подстановки, или Методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема

Пусть функция определена на множестве Х, а функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т. Таким образом, множество Х – множество значений функции . Тогда, если функция имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

(7.4.1)

Выражение (7.4.1) называется Формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Рассмотрим применение этого приема на Примерах.

1. .

2. . Введем новую переменную , тогда , . Исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Возвращаясь к Старой переменной, получим:

3. .

4. . Положим . Тогда , . Отсюда по формуле (7.4.1) получаем

5. .

6. .

7. .

9. . Здесь необходима следующая замена: . Тогда .

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. Отметим, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о Преобразовании функции под знаком дифференциала или о Введении постоянных или переменных под знак дифференциала).

< Предыдущая		Следующая >