Глава 73. Метод интегрирования по частям

К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по частям. Этот метод основывается на следующем утверждении.

Теорема

Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке Х и функции имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет первообразную на промежутке Х, причем справедлива формула

(7.5.1)

Замечание

Определение дифференциала функции ( и ) и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу (7.5.1) в виде:

(7.5.2)

Найдем следующие интегралы методом интегрирования по частям.

Пример

Вычислить интеграл .

Пусть , . Тогда , а . По формуле (7.5.2) получаем:

.

Пример

Вычислить интеграл .

Пусть , а . Тогда , а . .

Пример

Вычислить интеграл .

Пусть , . Тогда , а . По формуле (7.5.2) получаем. Теперь нужно вычислить интеграл . Возьмем в качестве , а в качестве . Тогда , а Т. о. . Подставляя полученный интеграл в исходное выражение, получим: .

Пример

Вычислить интеграл .

Если положить , а , то , а . Следовательно,

.

< Предыдущая		Следующая >