Глава 67. Экстремум функции нескольких переменных

Как и в случае одной переменной, функция имеет узловые, определяющие структуру графика точки. В первую очередь это точки экстремума.

Определение

Точка называется точкой Локального максимума (Минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Необходимо обратить внимание на локальный характер экстремума функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки ().

Сформулируем необходимое условие экстремума – многомерный аналог теоремы Ферма.

Теорема (Необходимое условие экстремума)

Пусть точка – есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда Частные производные и в этой точке равны Нулю.

Равенство нулю частных производных в точке экстремума является необходимым, но не достаточным условием. Это видно на примере функции и точки (Рис. 6.6.1).

Рис. 6.6.1

Частные производные функции в этой точке равны нулю, однако функция, которая является гиперболическим параболоидом, в нуле не имеет экстремума: . В любой окрестности точки есть как положительные значения функции, так и отрицательные. Такие точки называются Седловыми и являются двумерным аналогом точек Перегиба функций одной переменной.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума называют Критическими или Стационарными.

Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называют частными производными второго порядка: . Можно доказать, что если частные производные функции непрерывны в точке , то в этой точке .

Теорема (Достаточное условие экстремума функции двух переменных)

Пусть функция :

А) определена в некоторой окрестности точки , в которой и .

Б) Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка .

Тогда если , то в точке функция имеет Экстремум, причем если – Минимум, если – Максимум. В случае , функция экстремума не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум

1. Найти частные производные функции и .

2. Решить систему уравнений и и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример

Найти экстремумы функции .

Решение

1. Найдем частные производные , .

2. Найдем критические точки функции из системы уравнений . Система имеет решения: (1; 1), (1; –1), (–1; 1) и (–1; –1).

3. Найдем частные производные второго порядка: , , .

4. Вычислим их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выполнение достаточного условия Экстремума. Например, в точке (1; 1): А=С=–2, В=0. Так как и, то в точке (1; 1) есть точка Максимума. Аналогично устанавливаем, что точка (–1; –1) – точка Минимума, а точки (1; –1) и (–1; 1), в которых . – Экстремума нет. Эти точки являются Седловыми.

< Предыдущая		Следующая >