Глава 65. Дифференциал функции

Определение

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т. е.

,

(6.4.1)

Или, учитывая, что (16.4.2) можно записать в виде

.

(6.3.2)

Определение

Функция называется Дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде

(6.4.3)

Где – дифференциал функции, – бесконечно малые при .

Таким образом, Дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае одной переменной, Представляет главную, линейную часть относительно приращений , часть полного приращения функции.

Следует заметить, что для функции нескольких переменных существование частных производных является необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции. Приведенная ниже Теорема выражает достаточное условие дифференцируемости.

Теорема

Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция Дифференцируема В этой точке.

< Предыдущая		Следующая >