Глава 64. Частные производные

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу Приращение , А аргументу – приращение , тогда функция примет значение . Величина называется полным приращением функции в точке . Если задать только приращение аргумента или только приращение аргумента , то полученные приращения функции соответственно и называют частными приращениями. Полное приращение вообще говоря не равно сумме частных приращений. В этом можно убедиться на примере функции .

Определение

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется Предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:

или , или .

Следовательно, согласно определению,

, .

(6.3.1)

Таким образом, частная производная функции по какой–либо переменной является обыкновенной производной функции этой одной переменной при фиксированных значениях других переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированном значении других координат.

Пример

Найти частные производные функции а) , б) .

Решение

А) , ,

Б) , .

Пример

Поток пассажиров выражается функцией , где – число жителей, а – расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл. 

Решение

Производная показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пРопорционально удвоенному числу жителей. Производная показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров Обратно пропорционально квадрату расстояния между городами.

< Предыдущая		Следующая >