Глава 63. Предел и непрерывность
Большая часть понятий анализа, определенных ранее для функции одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
Определение
Число 
называется Предельным значением функции 
в точке А (или Пределом функции при М®А), если для любой последовательности точек 
из множества 
, сходящейся к А (
), соответствующая последовательность значений функции 
Сходится к .
Определение
Число называется Пределом функции в точке А, если для любого числа 
существует такое число 
, что для всех 
из d–окрестности точки А, Удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Для функций нескольких переменных, имеющих предел в данной точке, справедлива следующая Теорема об арифметических операциях над ними.
Теорема
Пусть функции 
и 
, определенные На одном и том же множестве , имеют соответственно пределы В и С в точке А. Тогда функции 
, 
и 
(при 
) Имеют в точке А пределы, равные соответственно 
, 
и 
.
Данное выше определение предела функции нескольких переменных легко распространяется на случай, когда точка М стремится к бесконечности.
Задача о нахождении предела функции нескольких переменных является несколько более сложной, чем для функции одной переменной, в особенности в случае неопределенности типа 
. Рассмотрим примеры.
Пример
Найти 
.
Положим 
, тогда 
при 
и 
. Подстановка в исходный предел дает 
.
Пример
Доказать, что предел 
не существует.
Данная функция определена всюду на координатной плоскости Oxy, кроме точки О(0,0). Будем приближаться к точке (0;0) по прямым 
. Если , то
.
Получается, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (X; Y) (например, по прямой 
или 
), то рассматриваемый предел не существует.
Пусть функция определена на множестве . Возьмем точку 
, любая e–окрестность которой содержит точки множества .
Определение
Функция называется Непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке Существует и Равен значению функции в этой точке:
Данное определение можно сформулировать как на «языке последовательностей», так и на «языке d-e», в соответствии с определениями 1 и 2 предела функции нескольких переменных. Следует лишь заменить в упомянутых формулировках число на значение функции в точке А: 
.
Определение
Функция называется Непрерывной на множестве , если она непрерывна в любой точке этого множества.
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются Точками разрыва.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
