Глава 62. Функции нескольких переменных. Основные понятия

В предыдущих разделах мы изучали функции одной переменной. Однако многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Определение

Пусть Каждой точке из множества по какому–либо закону ставится в соответствие некоторое Число из некоторого числового множества . Тогда будем говорить, что на множестве Задана функция . При этом множества и называются соответственно Областью определения и Областью значений функции .

Как и в случае функции одной переменной, область определения функции нескольких переменных либо задается априори, либо определяется из формулы функциональной зависимости путем соблюдения корректности выполнения соответствующих математических операций.

Как известно, функция одной переменной изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения функции представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности.

Рассмотрим некоторые Примеры функций нескольких переменных.

1. Функция , где – постоянные числа, называется Линейной. Ее можно рассматривать как сумму N линейных функций от переменных .

2. Функция ( – постоянные числа) называется Квадратической. В отличие от предыдущего примера квадратическая функция не является сепарабельной, т. е. не раскладывается в сумму функций одной переменной.

Пример

Рассмотрим функцию . Областью определения этой функции является вся координатная плоскость Oxy. Областью значений – промежуток . Данная функция представляет собой Параболоид. В вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Oyz получаются соответственно Параболы и .

Определение

Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно C.

< Предыдущая		Следующая >