Глава 61. Понятие дифференциала функции

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда согласно (5.1.4) Лекции 14 приращение В этой точке может быть представлено в виде

(5.13.1)

Первое слагаемое правой части приведенной формулы является бесконечно малой первого порядка, а второе слагаемое – бесконечно малой более высокого порядка, иными словами, величина является главной частью приращения , обусловленного приращением аргумента .

Определение

Дифференциалом функции в точке называется Главная линейная часть Приращения функции в этой точке: .

Поскольку , то эту формулу можно переписать в виде

(5.13.2)

Таким образом, дифференциалом независимой переменной будем называть приращение этой переменной , т. е. соотношение (5.13.2) принимает вид

(5.13.3)

Из равенства (5.13.3) производную в любой точке можно вычислить как отношение дифференциала к дифференциалу независимой переменной :

(5.13.4)

Тогда равенство (5.13.1) можно переписать в виде

(5.13.5)

Что полностью соответствует определению дифференциала функции.

Пример

Найти приращение и дифференциал функции в точке и .

Решение

Приращение функции есть

Дифференциал функции – . При имеем 3,72 и . Различие между ними составляет всего 0,02 или 0,5%.

Дифференциал функции имеет четкий Геометрический смысл (рис 5.13.1).

Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , точка – значению аргумента , – касательная к кривой в точке , – угол между касательной и осью . Тогда – приращение аргумента, – соответствующее приращение функции. Рассматривая треугольник , получаем , т. е. это главная по порядку величины и линейная относительно нее часть приращения функции . Второе слагаемое в уравнении (5.13.5) более высокого порядка малости соответствует отрезку .

Рис. 5.13.1

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Докажем инвариантность формы первого дифференциала, т. е. универсальность и применимость этой формулы в том случае, когда аргумент сам является функцией другой переменной .

Пусть функция дифференцируема в точке , а сам аргумент является дифференцируемой функцией аргумента , т. е. . Тогда сложная функция аргумента . В силу теоремы о производной сложной функции . Поскольку является независимой переменной, то по форме (5.13.3) записи дифференциала для функции получаем

(5.13.6)

Аналогично для дифференциала функции имеем . Подставляя это выражение в формулу (5.13.6) получаем , что и требовалось доказать.

61.1. Упражнения

Найти производные функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1.		2.
3.		4.
5.		6.

Определить тангенсы углов наклона касательных к кривым:

7.		8.
9.		10.

Найти производные функций:

11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.
81.		82.
83.		84.
85.		86.
87.		88.
89.		90.
91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.
101.		102.
103.		104.
105.		106.
107.		108.
109.		110.