Глава 60. Общая схема исследования функций и построение их графиков
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность – нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить соответственно уравнения 
и 
.
4. Найти вертикальные асимптоты.
5. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
6. Найти критические точки.
7. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
8. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
9. Построить график функции.
Заметим, что исследование функции удобно проводить одновременно с заполнением таблицы, в которой отражены все характерные особенности.
Пример
Построить график функции 
.
1. Областью определения функции является вся числовая прямая.
2. 
, т. е. функция четная.
3. Из уравнения следует, что 
, т. е. график функции пересекается с осями координат в точке 
.
4. Вертикальных асимптот нет, поскольку нет точек разрыва функции.
5. Наклонные и горизонтальные асимптоты находим с помощью известных формул и применением правила Лопиталя:
.
Значит 
– горизонтальная асимптота. Других асимптот нет.
6. Найдем критические точки (точки возможного экстремума и точки возможного перегиба). Для этого приравняем к нулю первую и вторую производные: 
или 
, откуда получаем 
и 
– точки возможного экстремума. Далее 
, откуда 
. Следовательно, критические точки даются решениями биквадратного уравнения 
: 
. – точки возможного перегиба.
7. Поскольку рассматриваемая функция четна, рассмотрим ее график на положительной полуплоскости, а потом отразим его симметрично на отрицательную. Для облегчения построения графика, поместим результаты исследования вопросов монотонности, экстремума, выпуклости, точек перегиба в следующую таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
«–» |
0 |
«+» |
“+” |
0 |
“–” | |||
|
|
“+” È |
0 |
“+” Ç |
0 |
“–” È | ||||
|
|
Убыв. |
|
Возр. |
Перегиб |
Возр. |
|
Убыв. |
Перегиб |
Убыв. |
Поскольку область определения функции – вся числовая прямая, то минимум и максимум этой функции совпадают с ее локальными экстремумами.
Учитывая проведенное исследование функции, ее неотрицательность, а также ее четность, построим график (рис. 5.11.1).
Рис. 5.11.1
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
