Глава 49. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если в некоторой точке Предел (5.1.1) бесконечен: или ,

То говорят, что в точке Функция Имеет Бесконечную производную. Если функция Имеет производную в каждой точке множества Х, то производная также является функцией от аргумента , Определенной на Х.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Определение

Касательной к графику функции В точке называется предельное положение секущей МN, когда точка стремится к точке по кривой .

Пусть точка на кривой Соответствует значению аргумента , а точка – значению аргумента (Рис. 5.1.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке нужно, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Ox. Из треугольника MNA следует, что .

Если производная функции В точке существует, то, согласно определению производной (5.1.1), получаем

Рис. 5.1.1.

Отсюда следует вывод о Геометрическом смысле производной: Производная в точке Равна Угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной к графику функции В точке . При этом угол наклона касательной определяется из формулы (5.1.2):

Правая и левая производные

Определение

Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел отношения (5.1.1) при , если этот предел существует.

Для обозначения односторонних производных используется следующая символика

Приведем Пример функции, у которой существуют, но не равны друг другу, правая и левая производные. Это . Действительно, в точке : и , т. е. функция Не имеет производной при.

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

Где – некоторое число, не зависящее от , а бесконечно малая функция при .

Так как произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка малости, то формулу можно представить в виде:

Теорема

Для того, чтобы функция была Дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке Конечную производную.

Данная Теорема позволяет в дальнейшем отождествлять дифференцируемость и существование производной для функции одной переменной. Операцию нахождения производной обычно называют Дифференцированием.

Если функция имеет производную в Каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она Дифференцируема на этом промежутке.

Теорема

Если функция дифференцируема в точке , то она и Непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение не верно: функция , непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Например, функция непрерывна в точке , но не имеет производной в этой точке. Таким образом, требование дифференцируемости Более сильное, чем требование непрерывности, поскольку из первого вытекает второе.