Глава 48. Точки разрыва функций и их классификация

Определение

Точками Разрыва функции называются точки, в которых функция Не определена или не является Непрерывной.

Точки разрыва классифицируются следующим образом.

Устранимый разрыв

Точка называется Точкой устранимого разрыва Функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке.

Пример

Функция в точке , как известно, имеет предел, равный единице. Однако в самой точке эта функция не определена. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней:

Доопределенная таким образом функция является непрерывной на всей числовой оси.

Разрыв 1–го рода

Точка называется Точкой разрыва первого рода Функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:.

Типичным Примером является функция Для нее точка является точкой разрыва первого рода.

Разрыв 2–го рода

Точка называется Точкой разрыва второго рода Функции , если в этой точке функция Не имеет По крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов Бесконечен.

1. Типичным примером является функция . Точка является точкой разрыва 2–го рода, так как , .

2. Для функции точка является точкой разрыва 2–го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Кусочно–непрерывные функции

Функция называется Кусочно–непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, Конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1–го рода и, кроме того, односторонние пределы в точках и .

48.1. Упражнения

Вычислить указанные пределы:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.

56. Определить точки разрыва функций:

57. Найти точки разрыва функции у=1+2x и построить график этой функции.

58. Между следующими бесконечно малыми (при х ® 0) величинами x2, , sin 3x, 2x, cos x, хе2x выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой х, а также высшего и низшего порядка, чем x.

59. Среди указанных бесконечно малых (при х ® 0) величин найти беско­нечно малые, равносильные бесконечно малой x: 2sinx, - tg 2x, х—3x2 , ln(1+x), х3+3х4.

60. Убедиться в том, что при х ® 1 бесконечно малые величины 1—х и 1— будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны?

< Предыдущая		Следующая >