Глава 47. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях

Понятие непрерывности функции является одним из основополагающих понятий в математическом анализе.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение

Функция называется Непрерывной в точке , если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

.

(4.7.1)

Так как , то это равенство можно переписать в следующей форме: .

Определение непрерывности функции можно сформулировать как «На языке последовательностей», так и «На языке E–D » в соответствии с двумя определениями предела функции в точке. Приведем здесь второе из них.

Определение

Функция называется Непрерывной в точке , Если для любого существует такое , что при всех , Удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определение

Функция называется Непрерывной справа (Слева) в точке , если правый (левый) предел этой функции в точке равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа и Соответственно слева:

или ,	(4.7.2а)
или .	(4.7.2б)

Если функция Непрерывна в точке Слева и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, функция имеет предел в точке , который равен ее значению в этой точке, что и означает непрерывность функции при .

Для практического использования полезно сформулировать еще одно определение непрерывности функции.

Определение

Назовем разность приращением аргумента в точке , а разность – приращением функции в точке , обусловленным приращением аргумента . Таким образом, , . Так как , то равенство (4.7.1) можно переписать в другой форме:

(4.7.3)

Теорема

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в точке (частное при условии, что ).

Теорема

Если функция F(X) Непрерывна в точке X0 и F(X0)>0, то существует такая окрестность точки X0, в которой F(X)>0.

Теорема

Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=j(x) непрерывна в точке u0=j(x0), то сложная функция y=f[j(x)] непрерывна в точке x0, или

.

(4.7.4)

< Предыдущая		Следующая >