Глава 28. Парабола, ее директриса

Определение

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости , называемой Фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой Директрисой.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 2.14.1). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением:

(2.14.1)

Где – расстояние от фокуса до директрисы (Параметр параболы). Уравнение (2.14.1) есть Каноническое уравнение параболы.

Рис. 2.14.1

Директриса данной параболы определяется уравнением . Фокальный радиус произвольной точки параболы может быть вычислен по формуле

.

(2.14.2)

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую Осью Параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется Вершиной параболы. При указанном выше выборе системы координат ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, а вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если вершину параболы (2.14.1) перенести в точку , то ее каноническое уравнение примет вид .

Пример

Найти фокус и уравнение директрисы параболы .

Решение

Параметр данной параболы . Поскольку расстояние от фокуса до директрисы равно , то фокус имеет координаты , а уравнение директрисы , то есть .

Пример

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке .

Решение

Поскольку фокус параболы лежит на оси ординат, а ее вершина – в начале координат, то уравнение параболы можно записать в виде . Так как ордината фокуса отрицательна, то уравнение параболы следует искать в виде .

Фокусное расстояние , откуда . Следовательно, уравнение параболы имеет вид .

< Предыдущая		Следующая >