Глава 29. Прямая в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой
Пусть даны точка на прямой и направляющий вектор
прямой, т. е. вектор коллинеарный прямой (Рис. 2.15.1). Этими условиями вполне определяется положение прямой в пространстве. Возьмем на прямой текущую точку
. Векторы
и
коллинеарны. Следовательно, при любом положении точки М будет иметь место следующее равенство:
.
Рис. 2.15.1
Переходя к соотношениям между координатами векторов, мы получим следующие равенства:
|
(2.15.1) |
Равенства (2.15.1) называются Параметрическими уравнениями прямой.
Исключая из уравнений (2.15.1) параметр , мы получим:
|
(2.15.2) |
Определение
Уравнения (2.15.2) называются Каноническими уравнениями прямой.
Отметим еще раз, что в этих уравнениях – направляющий вектор этой прямой. Координаты этого вектора называют также Угловыми коэффициентами этой прямой. Если направляющий вектор
единичный, то
,
,
, где
,
,
– углы, образуемые вектором
с осями Ox, Oy, Oz.
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Если известны координаты двух точек и
, то за направляющий вектор прямой, проходящей через эти точки можно взять вектор
и, следовательно,
.
Канонические уравнения этой прямой, проходящей через точку М с направляющим вектором , будут иметь вид:
|
(2.15.3) |
Пример
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и
.
Вектор является направляющим вектором искомой прямой. Запишем канонические уравнения прямой, проходящей через точку
с вектором
в качестве направляющего
< Предыдущая | Следующая > |
---|