Глава 26. Эллипс. Эксцентриситет и директрисы эллипса
Определение
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости 
и 
, называемых Фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 
. Расстояние между фокусами – 
.
Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.
Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть 
(Рис. 2.12.1). Пусть 
текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:
|
|
(2.12.1) |
Где 
– Большая, 
– Малая полуоси эллипса, 
. Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (2.12.1), совпадает с началом координат. Уравнение вида (2.12.1) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.
Рис. 2.12.1.
Эксцентриситетом эллипса называется число 
, равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса – 
(для окружности – 
). Отрезки 
и 
называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам 
и 
. Если эллипс определен уравнением (2.12.1) и 
, то прямые 
называются Директрисами эллипса (если 
, то директрисы определяются уравнениями 
).
Если центр эллипса перенесен в точку 
, то его Каноническое уравнение принимает вид
.
Пример
Дано уравнение эллипса 
. Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.
Разделим обе части уравнения на 4225: 
. Сравнивая полученное уравнение с выражением (3.2.1), заключаем, что 
, то есть 
, то есть 
. Тогда 
, а 
.
Пример
Прямые 
служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 
. Составить уравнение этого эллипса.
Малая полуось эллипса 
. Чтобы составить уравнение эллипса нужно знать большую полуось. Имеем: 
, . Следовательно, 
. Так как 
, то 
. Учитывая, что 
, получим, что величина 
удовлетворяет уравнению 
. Откуда 
, следовательно 
. Искомое уравнение принимает вид 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
