Глава 02. Действия над матрицами

1. Сложение матриц.

Пусть

; .

(1.2.1)

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C = A + B той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т. е.

(I= 1, 2, …, N; K= 1, 2, …, M).

(1.2.2)

Пример

, , .

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число l называется матрица C = lA, элементы которой равны элементам матрицы A, умноженным на число l, т. е.

, (I= 1, 2, …, N; K= 1, 2, …, M).

(1.2.3)

Матрица –A = (–1)×A называется противоположной матрице A. Очевидно, что A + (–A) = 0, где 0 – нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называющиеся линейными операциями, обладают следующими свойствами:

	(1.2.4)

3. Вычитание матриц.

Разностью матриц A и B одинаковой размерности называется такая матрица C = A – B, сумма которой с матрицей B равна матрице A.

(1.2.5)

Чтобы получить матрицу C = A – B, достаточно из элементов матрицы A вычесть соответствующие элементы матрицы B:

(i= 1, 2, …, n; k= 1, 2, …, m).

(1.2.7)

4. Умножение матриц.

Произведением двух матриц A и B, заданных в указанном порядке, называется такая матрица С = A×B, каждый элемент которой Cik равен сумме произведений элементов I–ой строки матрицы A на соответствующие элементы K–го столбца матрицы B.

Матрицы A и B можно перемножить, если количество элементов в строке матрицы A равно количеству элементов в столбце матрицы B.

Пример

; . Найти A×B.

Решение

Замечание

Произведение матриц BA рассмотренных в приведенном выше примере, не существует, т. к. число столбцов (2) матрицы B (первого множителя) не равно числу строк (3) матрицы A (второго множителя).

Пример

Найти A×B и B×A.