Глава 12. Системы M линейных уравнений с N неизвестными. Теорема Кронекера–Капелли

Пусть задана система линейных уравнений общего вида (1.8.1) , где M£N, т. е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Вопрос о разрешимости системы (1.8.1) рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера–Капелли (критерий совместности системы).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Не проводя строго доказательства теоремы, поясним его. В процессе преобразования системы уравнений (1.8.1) к виду (1.11.2), т. е элементарных преобразований матрицы системы и расширенной матрицы , ранги этих матриц не изменяются. Выше (п. 1.11) было установлено, что система (1.11.2) совместна тогда и только тогда, когда все свободные члены , …, равны нулю. В этом случае, как нетрудно проверить, ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (1.11.2), так же как и исходной системы (1.8.1) совпадают (оба равны ).

Представим общий порядок решения системы общего вида.

Необходимо определить совместность системы, т. е. определить ранги матрицы системы и расширенной матрицы . Из теоремы Кронекера–Капелли следует, что если Ранги этих матриц Не Совпадают, то система Не совместна и нет смысла ее решать. Если же Ранги матриц и Равны, то система Совместна.

Для совместных систем линейных уравнений справедливы следующие теоремы:

– если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. , то система имеет единственное решение.

– если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r<n, то система (1.8.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (1.8.1) приведены в виде схемы на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Исследование системы линейных уравнений

< Предыдущая		Следующая >