6.3. Производная в данном направлении. Градиент
Производная функции В точке
в направлении
, где
, определяется соотношением:
,
Где и
- значения функции
в точках
и
.
Если функция имеет частные производные, то справедлива формула:
, (5)
Где - угол, образованный вектором
с осью
.
Аналогично определяется производная в данном направлении для функции трех аргументов
. В этом случае:
, (6)
Где - углы между вектором
и соответствующими координатными осями.
Градиентом функции В точке
называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции:
. (7)
Аналогично определяется градиент функции трех переменных :
. (8)
Задание 1. Найти производную функции в точке
в направлении вектора
.
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке :
Определим теперь значения направляющих косинусов вектора :
.
Применяя формулу (6), получим:
.
Задание 2. Для функций и
найти угол между
и
в данной точке
.
Решение. Вычислим частные производные данных функций и их значения в точке :
,
,
,
,
,
.
Тогда в силу формулы (8):
Найдем теперь угол между градиентами функций. По формуле для косинуса угла между векторами имеем:
,
Следовательно, угол между и
в данной точке
равен
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|