3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция непрерывна на отрезке , а при функция обращается в бесконечность: . Несобственным интегралом От функции на отрезке в данном случае называют предел интеграла при и обозначают . Следовательно, по определению имеем:

. (13)

Если предел в правой части равенства (13) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл Сходится, в противном случае говорят, что несобственный интеграл Расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы от функции на отрезке в других случаях:

1) в случае :

. (14)

2) в случае , где :

. (15)

Заметим, что несобственный интеграл от функции на отрезке в случае , где , сходится, если сходятся оба несобственных интеграла правой части равенства (15), т. е. существуют оба предела.

Задание 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Решение. Данный интеграл является несобственным по бесконечному промежутку . По определению имеем:

.

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

Задание 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Решение. Данный интеграл является несобственным интегралом от функции на отрезке в случае . По определению имеем:

.

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.

< Предыдущая		Следующая >