43. Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение вида
, |
(2) |
Где и непрерывные функции от называется Линейным, в частности, уравнение называется линейным без правой части или Линейным однородным.
В линейном однородном уравнении переменные разделяются: и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства: .
Для того, чтобы решить уравнение (2) при будем искать неизвестную функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от , т. е. положим тогда .
Подставить значения и в уравнение (2):
.
После группировки получим:
(2') |
Выберем так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т. е. . Для этого достаточно, чтобы было частным решением уравнения с разделяющимися переменными:
или .
Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению . Находим . Подставив в уравнение (2') значение , получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
, или ,
Общее решение которого .
Следовательно, общим решением уравнения (2) будет .
В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно , а относительно , т. е. может быть приведено к виду: .
Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменные и меняют свои роли: считается аргументом, а ‑ неизвестной функцией.
Пример 8. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:
.
Положим , тогда .
Подставим и в данное уравнение:
;
(3) |
Положим , или .
Проинтегрировав, получим частное решение при :
или .
При равенство (3) обратится в уравнение:
;
,
Откуда и общим решением данного уравнения будет .
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений.
< Предыдущая | Следующая > |
---|