33. Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому, доя его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют Признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда

	(4)
	(5)

1°. Пусть существует номер такой, что .

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример 4. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как , то ряд расходится.

Пример 5. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Поскольку , то ряд сходится.

2°. Пусть существует конечный или бесконечный предел .

A). Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

B). Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример 6. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.

Пример 7. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Так как при , то ряд сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его -го члена.

Признак Даламбера. Пусть существует предел .

Если , то ряд сходится.

Если , то ряд расходится.

Пример 8. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 9. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд расходится.

Признак Коши. Пусть существует предел .

Если , то ряд сходится.

Если , то ряд расходится.

Пример 10. Рассмотрим ряд . Для этого ряда По признаку Коши ряд сходится.

Пример 11. Рассмотрим ряд . Для этого ряда . Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

Интегральный признак. Пусть ‑ положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность , Сходится, то сходится и ряд . Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример 12. Рассмотрим ряд (этот ряд называют Обобщенным Гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и , , .

Если , то . Так как при , то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при исследуемый ряд – гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если , то .

При , ; при . Таким образом, последовательность сходится при и расходится при .

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Пример 13. Рассмотрим ряд .

Функция ;

при .

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2° в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый Степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

Степенной признак. Пусть при , где . Тогда при ряд расходится. При ряд сходится (условие равносильно тому, что при . Говорят, что эквивалентен при ).

Пример 14. Рассмотрим ряд . Для этого ряда , значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен , так как при . Значит, в этом случае и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример 15. Ряд имеет -й член , который эквивалентен . Значит, ряд расходится.

< Предыдущая		Следующая >