16. Лекция 16. Функции нескольких переменных

Будем рассматривать упорядоченные наборы чисел . Такие наборы называют Точками. Точки можно складывать и умножать на число.

Так, если , то:

Множество всех таких точек образует -мерное арифметическое пространство . При получаем плоскость. При ‑ обычное 3-х мерное пространство.

Расстоянием между точками и будем называть число

При и ‑ это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.

Пусть и каждой точке по закону ставится в соответствие число (единственное, определяемое по закону ). Тогда говорят, что на задана функция переменных

Если определена формулами, то Областью определения называют множество точек , для которых эти формулы имеют смысл.

Число называют Пределом Функции в точке , если такое, что . Обозначение:

Функцию называют Непрерывной в точке , если .

Для непрерывных функций переменных справедливо большинство теорем, сформулированных для непрерывных функций одной переменной.

В точке дадим переменной точке приращение . При этом функция получит приращение:.

Если при , то непрерывна в точке .

Функция называется Дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

(1)

Где – постоянные (они зависят от ), Называемые частными производными. Их обозначают:

При практическом вычислении частных производных используют те же правила, что и при вычислении производных функций одной переменной. При этом, вычисляя , все переменные, кроме , воспринимают как постоянные.