15. Исследование функции и построение графика
График функции , заданной на множестве , т. е. множество точек плоскости с координатами , обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.
Для построения графики функции выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и ее производной и т. д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых и сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.
Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.
Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т. е. множество значений аргумента , при которых имеет смысл.
Если функция периодическая, то находят ее период, т. е. число такое, что , (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для , а затем периодически продолжают.
Для четной функции: , или нечетной: . Исследование проводят на промежутке . Построенный график продолжают на все множество , используя симметричное отражение относительно оси для четной функции и относительно точки ‑ для нечетной функции.
Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если не ограничено, то вычисляют пределы функции при и . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту , если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту . Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты . Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:
.
Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).
Вычисляют производную . Находят критические точки функции , т. е. стационарные точки и точки, в которых не существует. Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции .
Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной . Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак, и, следовательно, график функции сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной (т. е. точки, в которых равна нулю или не существует).
Исследуя стационарные точки функции , находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.
Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.
На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п.1‑6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика.
Пример 5. Построить график функции .
I. Область определения .
Функция не является периодической, четной, нечетной.
II. Поскольку , то - точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая является двусторонней вертикальной асимптотой.
Так как при и при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что
при ,
Делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.
III. .
Из уравнения y'(x) = 0 находим стационарные точки: , .
IV. . Точка является стационарной точкой для производной , так как .
V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.
X |
(-¥, -2) |
-2 |
(-2, 0) |
0 |
(0, 1) |
1 |
(1, +¥) |
Y'(x) |
+ |
0 |
- |
+ |
0 |
+ | |
Y''(x) |
- |
- |
- |
- |
0 |
+ | |
Возрастает |
Лок. макс. |
Убывает |
Бесконечный |
Возрастает | |||
Y(x) |
Выпукла вверх |
Выпукла вверх |
Перегиб |
Выпукла вниз | |||
VI. На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума , перегиба , асимптоты и . Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.
< Предыдущая | Следующая > |
---|