5.11.4 Производные сложной функции

При построении сложных функций нескольких переменных в качестве составляющих функций можно брать функции с различным числом независимых переменных. Запись в одной формуле всех возможных случаев громоздка. Поэтому ограничимся рассмотрением только нескольких случаев.

I. Пусть , где , . Тогда в конечном итоге будет функцией одной переменной : . Если существуют непрерывные частные производные и и существуют и , то существует , которая вычисляется по формуле:

. (1)

(Обращайте внимание на то, когда пишется круглое в обозначениях производных и когда прямое .)

В частности, если роль независимой переменной играет , то есть , где , то по формуле (1) получим:

. (2)

Здесь – частная производная по функции двух аргументов , а – обычная производная функции одной переменной.

Производную в формуле (2) называют полной производной.

Пример 1. Дана функция , где . Найти .

Решение. Находим производные (следите за обозначениями): .

Теперь по формуле (1) находим: . Здесь можно заменить и их выражениями через : .

Искомую производную можно было найти и не применяя формулу (1). Для этого достаточно выразить через : и взять производную по : . Однако не следует делать вывода о ненужности формул дифференцирования сложной функции. Часто приходится искать производные, когда зависимость от и или зависимость и от неизвестны, что не дает возможности явно выразить через .

Пример 2. Дана функция , где . Найти

Решение. Функция зависит от через посредство и и явно выразить через невозможно, поэтому здесь не удастся миновать формулы (1). Найдем и применяем формулу (1): .

Пример 3. Дана функция , где . Найти .

Решение.

По формуле (2) получаем:

II. Пусть теперь , где и существуют , тогда через посредство зависит от двух переменных и , то есть и можно говорить о частных производных и , которые находятся по формулам: (обратите внимание на обозначения производных).

Пример 4. Пусть , где . Тогда является сложной функцией от и от . По последним формулам находим: .

III. Пусть и , , тогда является сложной функцией от и : . Если существуют непрерывные частные производные и и существуют , то существуют и , которые вычисляются по формулам: