5.11.2 Предел и непрерывность функции двух переменных

Определение. Число называется пределом функции в точке , если такое, что для тех пар чисел (из области определения и отличных от ), которые удовлетворяют неравенствам , выполняется неравенство .

Обозначают это так: .

Все положения теории пределов функции одной переменной легко переносятся без существенных изменений на функции нескольких переменных.

Определение. Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности. Если , то функция называется непрерывной в точке .

Подчеркнем, что предел не зависит от того, каким образом точка стремится к точке .

Обозначим . Полным приращением функции при переходе от точки к точке называется разность , то есть . Для непрерывной функции при .

Очевидно, что из непрерывности функции двух переменных в точке следует непрерывность функции одной переменной при и при . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Если в какой-либо точке плоскости для нарушается условие , то функция имеет разрыв в этой точке.

Пример 3. Найти пределы, если они существуют:

1) .

2) . Положим , тогда

3) . Так как предел не должен зависеть от способа стремления к точке , то пусть ( при ), тогда , то есть при разных будем получать разные ответы, следовательно, данная функция в точке предела не имеет.

4) . Будем стремиться к точке по прямым , тогда .

А теперь устремимся к началу координат по кривой :

, то есть предел функции зависит от способа стремления к предельной точке. Иначе: функция имеет два предела в одной точке, чего быть не может. Следовательно, функция не имеет предела в точке .

Пример 4. Исследовать на непрерывность функции:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Числитель и знаменатель функции являются непрерывными функциями на всей плоскости, дробь будет непрерывна всюду, кроме точек, в которых знаменатель равен нулю, то есть исключая начало координат.

2) Рассуждая аналогично, придем к выводу, что функция непрерывна всюду, кроме точек прямой .

3) Поскольку непрерывная функция на всей плоскости, а тангенс непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме точек , то функция терпит разрыв там, где .