5.11.1 Основные понятия

Определение. Если каждой паре значений независимых переменных и из области их изменения соответствует по некоторому закону определенное значение , то переменную называют функцией двух переменных и и обозначают .

Определение. Множество тех пар чисел , для которых в области вещественных чисел определено соответствующее значение , называется областью определения функции .

Пример 1. Областью определения функции является вся плоскость , а функции – множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству или неравенству , то есть круг.

Из рассмотренных примеров видно, что областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость или ее часть.

Пара чисел и определяет положение точки на плоскости и, значит, радиус-вектор и наоборот. Поэтому функцию можно рассматривать либо как функцию точки , либо как скалярную функцию векторного аргумента и писать .

Аналогично определяются функции трех, четырех и более аргументов.

Взяв систему координат в пространстве, можно для каждой точки из области определения отложить соответствующую аппликату и получить точку в пространстве. Множество всех таких точек в пространстве называется графиком функции двух переменных. В общем случае графиком является поверхность. Сама формула, задающая функцию , и есть уравнение этой поверхности. Например, графиком функции является плоскость, а функции – сфера. Однако построение графиков функции двух переменных в большинстве случаев представляет значительные трудности. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функции двух переменных, не выходя в трехмерное пространство. Средством такого описания являются линии уровня, которые представляют собой множество точек , для которых , где – константа. Придавая различные значения и строя линию уровня, получим семейство линий уровня, которые наглядно описывают функцию .

Пример 2. Построить линии уровня функции .

Решение. Пересечем поверхность плоскостью . Получим линии уровня , представляющие собой окружности с центром в начале координат. Отсюда следует, что графиком данной функции должна быть поверхность вращения вокруг оси . Действительно, из аналитической геометрии известно, что уравнение определяет параболоид вращения с осью .

Определение. Окрестностью точки на плоскости называется квадрат или круг с центром в точке .

Определение. Областью называется множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:

1) каждая точка принадлежит вместе с некоторой окрестностью этой точки (свойство открытости);

2) всякие две точки из можно соединить ломаной линией, все точки которой принадлежат (свойство связности).

< Предыдущая		Следующая >