5.10.11 Асимптоты кривой

Понятие асимптот вводится для кривых, график которых (или отдельные ветви графика) уходит в бесконечность. Это может быть, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.

Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.

Пример 1. Доказать, пользуясь определением асимптоты, что прямая является асимптотой кривой .

Решение. По определению асимптоты . В нашем случае .

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты.

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси , имеет вид .

Если прямая является вертикальной асимптотой графика функции , то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности ( или ).

Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.

Пример 2. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .

Решение. Видим, что , если , точнее , то есть прямая является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты.

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение .

Если прямая является горизонтальной асимптотой кривой , то .

Пример 3. Найти горизонтальные асимптоты кривой .

Решение. Найдем , то есть при и при , значит прямая – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде . По определению асимптоты или

. (1)

Разделим обе части этого равенства на :

, откуда

. (2)

Теперь из (1):

. (3)

Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при и при , так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. По формуле (2) найдем .

Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты .

Пример 5. Найти асимптоты кривой .

Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как при . Ищем наклонные:

Таким образом, кривая асимптот не имеет.

Пример 6. Найти асимптоты кривой .

Решение. Поскольку при и при , то прямые и являются вертикальными асимптотами. Так как , то – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).