5.10.10 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Определение. Пусть имеет в точке конечную производную. Говорят, что кривая в точке выпукла (вогнута), если в некоторой окрестности этой точки она лежит ниже (выше) касательной. Точку называют точкой перегиба, если кривая переходит в точке с одной стороны касательной на другую.

Определение. Если кривая выпукла (вогнута) в каждой точке некоторого промежутка, то она называется выпуклой (вогнутой) на этом промежутке.

Одна и та же кривая может состоять из выпуклых и вогнутых частей.

Если будем, двигаясь по кривой в сторону возрастания , следить за изменением угла , образованного касательной с положительным направ-лением , то увидим, что на участках выпуклости этот угол уменьшается, а на участках вогнутости увеличивается. Так как с уменьшением , уменьшается, а с увеличением – увеличивается, то на участках выпуклости убывает, следовательно, , а на участках вогнутости возрастает, следовательно, .

Итак, график будет выпуклым для тех интервалов оси , для которых , и вогнут, где . Точки перегиба – точки, при переходе через которые меняет знак. Отсюда получаем правило нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба:

1) находим точки, в которых равна нулю, бесконечности или не существует;

2) исследуем изменение знака при переходе через эти точки.

Подчеркнем, что наличие равенства (необходимое условие перегиба) еще не обеспечивает наличие перегиба в точке . Например, для и , однако, легко убедиться, что кривая, изображающая эту функцию, в точке перегиба не имеет.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой .

Решение. Находим производные , . Решая уравнение , находим точки, подозрительные на перегиб: . Область определения функции разбивается этими точками на три интервала . На каждом из них будет постоянного знака, причем знаки по интервалам распределятся следующим образом:


	–		–		+
	–		+		+
Знак	+		–		+
	Вогнута	Точка перегиба	Выпукла	Точка перегиба	Вогнута

Пример 2. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой .

Решение. Находим . В данном случае нигде в нуль не обращается, а в точке она равна бесконечности, значит, в этой точке возможен перегиб. Так как при вторая производная и при , то на кривая выпукла, а на – вогнута и точка – точка перегиба.