5.10.07 Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя. Другие виды неопределенностей

Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Простой прием раскрытия неопределенностей вида и дает правило Лопиталя, сущность которого заключается в следующей теореме.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть ( может быть конечным и бесконечным).

Пример 1. Найти .

Решение. Сначала убедимся, что правило Лопиталя применить можно. Действительно, величины, стоящие в числителе и знаменателе при являются бесконечно малыми, то есть имеем неопределенность вида , следовательно можно воспользоваться правилом Лопиталя:

.

Пример 2. Найти .

Решение. .

Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность или .

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Замечание 1. Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат.

Замечание 2. В теореме требование существования является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что тоже не существует. Например, – не существует, однако .

Неопределенности вида и с помощью тождественных преобразований сводятся к неопределенностям или и затем раскрываются по правилу Лопиталя.

Неопределенность возникает, если требуется найти при условии . В результате преобразования (либо ) получается неопределенность (либо ).

Если нужно найти , причем и , то, представив разность , получим неопределенность . Неопределенности вида путем логарифмирования выражения сводятся к неопределенности , рассмотренной выше.

Пример 4. Найти .

Решение. Здесь имеем неопределенность . Перепишем данное выражение в виде .

Теперь можно применить правило Лопиталя:

.

Пример 5. Найти .

Решение.

.

Пример 6. Найти .

Решение. Данное выражение представляет собой неопределенность вида . Преобразуем его к другому виду:

Пример 7. Найти .

Решение. .

Пример 8. Найти .

Решение. Здесь неопределенность вида . Обозначим и прологарифмируем: , откуда в силу непрерывности логарифмической функции (пример 4). Итак, , откуда , т. е. .

Пример 9. Найти .

Решение. Имеем неопределенность , которую можно было бы раскрыть с помощью второго замечательного предела, однако мы иллюстрируем другой прием. Обозначим , тогда

.

Получим , тогда по определению логарифма .

Для приобретения навыка рекомендуем решить примеры, помещенные в пунктах 5.7.3 и 5.7.4, с помощью правила Лопиталя.

< Предыдущая		Следующая >