5.10.08 Условия постоянства, возрастания и убывания функции

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если для любых и из из неравенства вытекает неравенство . Если же из неравенства следует неравенство , то называется неубывающей (не возрастающей).

Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными, а неубывающие и невозрастающие – монотонными.

Теорема. Пусть на определена и непрерывна , имеющая на конечную производную.

Тогда:

I. Для того чтобы была постоянной на , необходимо и достаточно, чтобы для всех из .

II. Для того чтобы была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы для всех  из .

III. Для того чтобы была возрастающей (убывающей) на , достаточно выполнения условия для всех  из .

Заметим, что условие не является необходимым для строго возрастающей (убывающей) функции. Строго монотонная дифференцируемая функция в отдельных точках может иметь производную, равную нулю. Например, функция строго возрастает на , но ее производная равна нулю при .

Эти теоремы позволяют находить промежутки монотонности функции и доказывать некоторые равенства и неравенства.

Пример 1. Показать, что неравенство выполняется для всех вещественных .

Решение. Рассмотрим функцию , областью определения которой является промежуток . Найдем ее производную и решим неравенства и : при и при . Таким образом, слева от нуля убывает, а справа возрастает. Возьмем две точки и – любую из , тогда по определению убывающей функции из неравенства следует . Аналогично для точек и из следует (в силу возрастания на этом промежутке). Таким образом, для всех , то есть .

Пример 2. Определить промежутки монотонности функции .

Решение. Найдем . Из неравенств и получаем, что возрастает на промежутке и убывает на .

Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Находим производную . Так как при всех , то и на всей числовой оси, следовательно всюду возрастает.

Обращаем внимание на то, что в теоремах II и III говорится о монотонности в промежутке. Если же неравенство выполняется только в одной точке , то нельзя говорить о монотонности хотя бы в малой окрестности точки .

< Предыдущая		Следующая >