5.09.1 Непрерывные функции. Основные понятия и свойства

Определение. Пусть на некотором промежутке определена функция и – точка этого промежутка. Если , то называется непрерывной в точке .

Из определения следует, что о непрерывности можно говорить лишь по отношению к тем точкам, в которых определена (при определении предела функции такого условия не ставилось). Для непрерывных функций , то есть операции и перестановочны. Соответственно двум определениям предела функции в точке можно дать два определения непрерывности – «на языке последовательностей» и «на языке неравенств» (на языке ). Предлагается это сделать самостоятельно.

Для практического использования иногда более удобно определение непрерывности на языке приращений.

Величина называется приращением аргумента, а – приращением функции при переходе из точки в точку .

Определение. Пусть определена в точке . Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть при .

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна при любом значении .

Решение. Пусть – произвольная точка. Придавая ей приращение , получим точку . Тогда . Получаем .

Определение. Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если

.

Функция, непрерывная во внутренней точке, будет одновременно непрерывной справа и слева. Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна в точке слева и справа, то она будет непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только с одной стороны. Например, для , , , следовательно, эта функция непрерывна только слева (график этой функции см. выше в пункте 5.7.2).

Определение. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

В частности, если промежутком является отрезок , то на его концах подразумевается односторонняя непрерывность.

Свойства непрерывных функций.

1. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

2. Если и , заданные на некотором промежутке, непрерывны в точке этого промежутка, то в этой точке будут также непрерывны функции .

3. Если непрерывна в точке из , а непрерывна в соответствующей точке из , то и сложная функция будет непрерывной в точке .

< Предыдущая		Следующая >