5.08 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших

В процессе своего изменения одни бесконечно малые стремятся к нулю «быстрее», другие «медленнее». Например, стремится к нулю при «быстрее», чем . Чтобы убедиться в этом, достаточно выписать их значения при . Действительно, пробегает значения , а .

Cледовательно, надо как-то различать бесконечно малые по характеру их изменения.

Определение. Пусть и – бесконечно малые при и . Если:

1) , то и называются бесконечно малыми одного порядка малости.

2) , то и называются эквивалентными бесконечно малыми, и пишут .

3) , то называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , и пишут .

4) , то имеет более высокий порядок малости, чем .

Eсли не существует, то и называются несравнимыми.

Сравним бесконечно малые , , , , , с бесконечно малой при .

1) , ,

, следовательно при .

2) , значит, и при одного порядка малости.

3) , откуда следует, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем .

4) , значит, есть бесконечно малая низшего порядка, чем .

Величины и являются бесконечно малыми при и не существует, следовательно, эти величины несравнимые.

Часто оказывается недостаточно знать, что из двух бесконечно малых одна является более высокого порядка малости, чем другая, нужно еще как-то оценить насколько высок этот порядок.

Определение. Число называется порядком малости бесконечно малой по отношению к бесконечно малой , если и являются бесконечно малыми одного порядка, то есть если .

Пример 1. Определить порядок малости бесконечно малых , и относительно при .

Решение.

1) , то есть является бесконечно малой второго порядка малости по отношению к .

2) Бесконечно малые и одного порядка малости поскольку .

3) , т. е. имеет третий порядок малости относительно .

Обычно при сравнении бесконечно малых одну из них выбирают в качестве эталона и называют основной. Если бесконечно малые являются функциями от и становятся бесконечно малыми при , то за основную бесконечно малую принимают величину , если – конечно и , если .

Пусть – основная бесконечно малая, тогда бесконечно малую , где – константы и , считают простейшей бесконечно малой.

Определение. Простейшую бесконечно малую , эквивалентную данной бесконечно малой , называют ее главной частью

. (6)

В частности, при главная часть имеет вид , а при – .

Пример 2. Выделить главную часть бесконечно малых , и при . (Сравните с примером 1).

Решение. Основной бесконечно малой будет , следовательно, вид главной части у всех будет .

1) , если и , тогда .

2) , при и , .

3) , если , , главная часть .

Пример 3. Пусть . Выделить главную часть бесконечно малой .

Решение. Основной бесконечно малой будет , тогда главную часть будем искать в виде . Найдем, при каких и . Очевидно, что , отсюда следует, что главной частью будет .

Пример 4. Пусть . Выделить главную часть бесконечно малой .

Решение. В данном случае и главная часть имеет вид . Определим и :

Главная часть .

Пример 5. Выделить главную часть бесконечно малой при .

Решение. Записываем основную бесконечно малую и вид главной части . Тогда

Искомая главная часть .

Для данной бесконечно малой может существовать много эквивалентных бесконечно малых, но главная часть у нее одна. Например, при , но главная часть у всех одна и равна (все остальные не являются простейшими).

При раскрытии неопределенности полезно пользоваться следующими теоремами:

Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых при различных порядков малости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.

Сумма , если , то есть – главная часть этой суммы.

Теорема 2. Предел отношения бесконечно малых не изменится при замене этих бесконечно малых им эквивалентными.

Пример 6. .

Пример 7. .

Замечания.

1. В теореме 2 говорится о возможности замены только всего выражения, стоящего в числителе или знаменателе.

2. В тех случаях, когда числитель или знаменатель представляет собой произведение бесконечно малых, то каждую из них можно заменить эквивалентной, так как и все произведение заменится эквивалентной величиной.

3. Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то нельзя при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами, поскольку такая замена может привести к неверному результату или вовсе к потере смысла.

4. При вычислении предела бесконечно малую можно заменять ее главной частью.

Сравнение бесконечно больших в точке функций и отыскание их главных частей производится аналогично.

Пример 8. При бесконечно большая низшего порядка роста по сравнению с бесконечно большой , так как

Пример 9. Определить порядок роста бесконечно большой по отношению к бесконечно большой при .

Решение. Решение сводится к отысканию такого числа , при котором , . Очевидно,

. Итак, – бесконечно большая второго порядка по отношению к .

Пример 10. Пусть . Выделить главную часть бесконечно большой .

Решение. Из условия получаем, что – основная бесконечно малая, тогда – основная (эталонная) бесконечно большая, следовательно, главная часть будет иметь вид .