5.07.5 Второй замечательный предел и его следствия

Предел последовательности обозначается буквой :

. (4)

Число является иррациональным и приблизительно равно . Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают .

Формула (4) выполняется и для функций

. (5)

Предел (5) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:

1) должна быть неопределенность вида ,

2) Бесконечно малая, или короче: ,

3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.

Так, среди пределов , , , только второй и третий равны .

Пример 1.

.

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6.

.

Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда

.

Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы:

, в частности .

, если , то .

.

С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.

Пример7.

. (Здесь ).

Пример 8. .

Пример 9.

.

Пример 10.

.

Пример 11. .

Пример 12.

.

Для самостоятельного решения.

Найти пределы:

1. ; Ответ: 2.

2. ; Ответ: .

3. ; Ответ: 0.

4. ; Ответ: .

5. ; Ответ: 2.

6. ; Ответ: .

7. ; Ответ: 3.

8. ; Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >