5.07.4 Первый замечательный предел

Соотношение вида (или ) называют первым замечательным пределом. Дадим критерий для его распознавания:

1) выражение представляет собой неопределенность вида ,

2) ,

3) .

Найдем первый замечательный предел среди предложенных:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Пределы 1, 3 и 4 являются превыми замечательными, так как все три условия, перечисленные в критерии, выполнены. Во втором примере не выполнены первое и третье условия, поэтому это не есть первый замечательный предел (предел находится cразу в результате подстановки предельной точки). Пятый предел можно свести к первому замечательному, домножая числитель и знаменатель на 3.

При решении примеров следует иметь в виду, что предел выражения, содержащего любую тригонометрическую функцию и имеющего неопределенность вида , всегда можно свести к первому замечательному пределу, однако в этом не всегда есть необходимость.

Пример 1.

Пример 2. .

Пример 3. .

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7.

Пример 8. . Первый замечательный предел применить нельзя, так как аргументы и у синусов не стремятся к нулю при . Поэтому положим , тогда при будет . Тогда