4.3.4 Евклидовы линейные пространства

Определение. Если в линейном пространстве введено понятие скалярного произведения векторов, то такое пространство называется евклидовым и обозначается . Евклидово пространство конечномерно.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и линейного пространства называется число, обозначаемое и удовлетворяющее условиям:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) , если и , если .

В пространстве скалярное произведение введем следующим образом. Пусть , – два произвольных вектора из , тогда положим (условия «а–г», очевидно, выполнены).

Определение. Длиной вектора пространства называется число .

В длина вектора равна .

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть , причем .

Теорема 1. Всякая система ненулевых векторов, составленная из попарно ортогональных векторов, линейно независима.

Определение. Базис линейного пространства называется ортогональным, если его векторы попарно образуют ортогональную систему, и ортонормированным, если он ортогональный и каждый его вектор единичный.

Таким образом, если ортонормированный базис, то

Канонический базис ортонормирован. Заметим, что обратная матрица к матрице перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называются ортогональными. Примером ортонормированного базиса в является декартов базис .

Пример 5. Вектор в базисе , , имеет координаты . Найти координаты вектора в базисе , , .

Решение. Обратим внимание на то, что оба базиса ортонормированы. Мы уже знаем, что канонический базис ортонормирован. Базис также ортонормирован, так как и .

Обозначим координаты вектора в базисе через . Построим матрицу перехода от к : .

Эта матрица ортогональна, так как является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Поэтому: ( – транспонированная).