4.3.1 Понятие линейного пространства

Определение. Множество элементов произвольной природы, которые будем обозначать и называть векторами, называется линейным пространством, если в нем введены две операции:

1) имеется правило (внутренняя операция), позволяющее любым двум элементам и из сопоставить третий элемент из , называемый суммой элементов и и обозначаемый ;

2) имеется правило (внешняя операция), которое позволяет для каждого элемента из и любого числа найти элемент из , называемый произведением элемента на число и обозначаемый . Причем эти две линейные операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

А) для любых и из (коммутативность);

Б) для любых из (ассоциативность);

В) в существует элемент, обозначаемый (нуль-вектор) такой, что для любого из ;

Г) для каждого из найдется такой элемент из , что ( называется элементом, противоположным );

Д) для любого из ;

Е) для любого из и для любых чисел и ;

Ж)  для любого из и для любых чисел и ;

З) для любого числа и для любых и из .

Линейное пространство называют также векторным пространством, а его элементы – точками или векторами в зависимости от контекста.

Как видно, сложение элементов и умножение их на числа приводят к новым элементам того же линейного пространства. Это свойство называют замкнутостью линейного пространства относительно операций, которые в нем определены.

С одним примером линейных пространств мы уже знакомы. Это множество геометрических векторов, которое изучено в курсе векторной алгебры. Приведем еще несколько примеров линейных пространств.

Пример 1. Все четные функции, заданные на , с обычными операциями сложения и умножения на число, образуют линейное пространство. Действительно, сумма четных функций есть снова четная функция. Четность сохраняется при умножении функции на число. Роль нулевого элемента выполняет функция, тождественно равная нулю (очевидно, четная), роль элемента, противоположного функции , играет функция , четная одновременно с . Остальные аксиомы выполняются автоматически, так как они выполняются для чисел, а линейные операции над числовыми функциями определяются через аналогичные операции над их значениями.

Пример 2. Зафиксируем натуральное и рассмотрим множество упорядоченных наборов вещественных чисел. Определим сложение наборов следующим образом:

И умножение наборов на вещественные числа :

.

В качестве нулевого элемента примем . Легко проверить справедливость аксиом А–з. Следовательно, множество этих наборов является линейным пространством, а упорядоченные наборы вещественных чисел можно назвать векторами. Это пространство называется координатным или арифметическим.

Пример 3. Множество матриц размера с введенными выше операциями сложения и умножения на число является линейным пространством (справедливость восьми аксиом предлагается проверить читателю самостоятельно).

Пример 4. Экзотический пример линейного пространства был предложен Грассманом в качестве модели цветоощущений: сложение есть смешение цветов, умножение на положительное число означает увеличение интенсивности цвета в соответствующее число раз, умножение на дает цвет, дополнительный к данному.

Этот пример потерял свою экзотику, но приобрел практическую ценность с появлением систем передачи цветных изображений.

Пример 5. Все решения однородной системы линейных уравнений образуют линейное пространство. Действительно, сумма двух решений однородной системы и произведение решения на число снова являются решением этой системы. Справедливость аксиом становится очевидной, если решения однородной системы рассматривать как элементы арифметического пространства.

Определение. Два линейных пространства и называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие следующим образом:

1) если вектору из соответствует вектор из и вектору из соответствует вектор из , то вектору из соответствует вектор из ;

2) если вектору из соответствует вектор из и – любое вещественное число, то вектору из соответствует вектор из .

Для самостоятельной работы.

Укажите среди перечисленных ниже множеств линейные пространства:

1) множество нечетных функций, заданных на ;

2) арифметические прогрессии;

3) геометрические прогрессии с одинаковыми знаменателями;

4) все периодические функции, заданные на ;

5) множество векторов вида ;

6) множество векторов вида ;

7) множество векторов, начала которых находятся в начале координат, а концы на фиксированной прямой.

< Предыдущая		Следующая >