4.2.2 Произвольные системы линейных неоднородных уравнений

Произвольную систему линейных неоднородных уравнений запишем в виде

, (1)

Где или .

Основную матрицу этой системы будем обозначать , а расширенную буквой .

Приведем алгоритм решения таких систем.

1. Находим ранги основной и расширенной матриц. Если они не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и на этом исследование заканчивается.

2. Пусть . Выделяем базисный минор. При этом все неизвестные системы линейных уравнений подразделяются на два класса.

Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, называют зависимыми, а неизвестные, коэффициенты при которых не попали в базисный минор – свободными. Заметим, что выбор зависимых и свободных неизвестных не всегда однозначен.

3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).

4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из уравнений с неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.

5. Решая полученную систему одним из способов, рассмотренных в 4.2.1., найдем соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.

Определение. Совокупность соотношений, дающих выражение зависимых неизвестных через свободные, называется общим решением системы.

Определение. Решение, получающееся из общего решения при фиксированных значениях свободных неизвестных, называется частным решением системы.

Для произвольных систем справедливы следующие утверждения:

1. Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда , где – число неизвестных. Действительно, в этом случае нет свободных неизвестных, а система, эквивалентная данной, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, имеет единственное решение.

2. Система линейных уравнений неопределенна тогда и только тогда, когда , но меньше числа неизвестных. (Есть свободные неизвестные, которым можно придавать любые значения).

Пример 19. Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

Решение. Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица . Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно .

Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных , значит, неизвестные – зависимые, а – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:

, ,

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные и , то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:

1) пусть , тогда ;

2) положим , тогда .

Таким образом, нашли два решения: – одно решение, – другое решение.

Проверим, правильно ли найдено, например, первое решение. Для этого вместо неизвестных подставим соответственно числа в каждое уравнение исходной системы:

Пример 20. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу .

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:

Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:

;

.

Проверку рекомендуется сделать самостоятельно.

Пример 21. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:

Умножая первую строку на , складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть .

< Предыдущая		Следующая >