3.1 Прямая на плоскости

Составим уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Пусть – начало декартовой системы координат, – переменная (текущая) точка искомой прямой, – радиус-векторы точек и соответственно.

Вектор лежит на прямой, следовательно, . Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Так как , то получаем

(1)

– уравнение прямой в векторной форме.

Возникает вопрос: почему условие ортогональности векторов в то же время назвали уравнением прямой? Ответ следует из определения 1: потому, что этому уравнению удовлетворяет любая точка, лежащая на прямой, и не удовлетворяет никакая другая, так как если точка не лежит на искомой прямой, то не будет перпендикулярен , следовательно, условие (1) не выполняется.

Уравнение (1) в координатной форме примет вид:

, (2)

Или, обозначая :

(3)

– общее уравнение прямой.

Для успешного применения формул (2) и (3) необходимо знать геометрический смысл каждой буквы, входящей в уравнения: – координаты фиксированной точки прямой, – координаты текущей точки прямой, – координаты вектора нормали к прямой.

Аналогично, решая задачу о нахождении уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно вектору , придем к уравнению

, (4)

Которое называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме. Здесь – переменная величина, называемая параметром. Любой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. В качестве направляющего вектора , в частности, можно взять любой вектор, лежащий на прямой. Уравнение (4) можно записать в координатной форме:

(5)

Исключая из уравнений (4) параметр , получим:

. (6)

Уравнение (6) называют каноническим уравнением прямой. В частности, если прямая проходит через точки и , то в качестве можно взять вектор и уравнение (6) записать в виде .

В формулах (5) и (6) и – координаты направляющего вектора прямой, а смысл букв – тот же, что и в общем уравнении.

Обозначая , уравнение (3) перепишем в виде

(7)

– уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнению (7) можно придать другой вид:

, (8)

Где – фиксированная точка прямой.

От уравнения (8) можно перейти к уравнению (7), если обозначить . Величина равна тангенсу угла наклона прямой к оси , – длина отрезка, отсекаемого прямой на оси .

Заметим, что всякое уравнение первой степени на плоскости определяет прямую.

Расстояние от точки до прямой находится по формуле:

. (9)

Угол между прямыми и можно найти по формуле:

, (10)

А если прямые заданы в виде , то по формуле

. (11)

Общие рекомендации. Прежде всего, обратите внимание на геометрический смысл каждой буквы, входящей в уравнения прямой различного вида. В этом – ключ к решению задач на составление уравнения прямой. Каким бы ни было условие задачи, в конце концов, дело сведется к нахождению прямой, проходящей через фиксированную (заданную) точку, и при этом либо:

А) параллельно прямой;

б) перпендикулярно прямой;

в) под углом к другой прямой.

Проанализируйте, не решая, условия следующих задач:

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и при этом:

А) параллельно прямой ;

Б) перпендикулярно прямой .

2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника:

И одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон прямоугольника. Попутно разберитесь, почему на чертеже именно так выбраны прямые и точка.

3. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам.

4. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

У этих задач разное содержание, но решение любой из них сведется к нахождению либо параллельной, либо перпендикулярной данной (известной) прямой. Поэтому надо направить усилия на отыскание либо нормали, либо направляющего вектора искомой прямой и в зависимости от того, что из них удается найти, выбрать форму (вид) уравнения – для общего уравнения нужна конкретная точка и нормаль, для канонического и параметрического уравнений нужна точка и направляющий вектор.

Заметим, что нормаль и направляющий вектор одной и той же прямой перпендикулярны, значит . Поэтому, зная координаты , можно найти координаты и наоборот.

Решим первую из сформулированных выше задач.

Решение.

А) Из чертежа видно, что у двух прямых (заданной и искомой) общая нормаль, следовательно, можно написать общее уравнение искомой прямой: или .

Б) Как видим, нормаль к заданной прямой является направляющим вектором искомой прямой, поэтому можно написать каноническое уравнение искомой прямой: или .

Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Написать:

А) уравнение стороны ;

Б) уравнение медианы ;

В) уравнение высоты ;

Г) уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине .

Решение. а) Найдем координаты вектора , который можно взять в качестве направляющего вектора, а в качестве фиксированной точки выберем, например, точку . Так как по определению направляющий вектор – любой вектор, параллельный прямой, то, сокращая координаты вектора на , возьмем в качестве направляющего вектор и запишем каноническое уравнение прямой : , от которого легко перейти к параметрическим , или к общему .

Б) Точка – середина отрезка , следовательно ее координаты , а вектор служит направляющим вектором. Уравнение медианы в канонической форме: или .

В) Так как прямые и перпендикулярны, то в качестве нормали к можно взять или любой вектор, ему параллельный, в частности . По формуле (2) получим: или .

Г) Известно, что диагонали ромба делят углы пополам. Найдем орты и векторов и соответственно и на них, как на сторонах, построим ромб, диагональ которого , равную сумме ортов, можно взять в качестве направляющего вектора биссектрисы.

Каноническое уравнение биссектрисы примет вид или .

Пример 2. Определить при каких значениях и прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный , считая от начала координат.

Решение. Если прямая параллельна оси абсцисс, то ее нормаль перпендикулярна этой оси, то есть ее первая координата (абсцисса) равна . Так как , то . В уравнении величина равна длине отрезка, отсекаемого прямой на оси . Перепишем уравнение прямой в виде . Тогда . Решая совместно уравнения (*) и (**), найдем , .

Пример 3. Две стороны квадрата лежат на прямых и . Вычислить его площадь.

Решение. По условию заданы уравнения параллельных сторон. Для нахождения длины стороны квадрата достаточно найти расстояние между прямыми, взяв на одной прямой какую-нибудь точку, например , и подсчитать расстояние от точки до прямой :

. Тогда .

Пример 4. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая , его вершина находится в точке , тангенс угла при основании равен . Написать уравнения боковых сторон треугольника.

Решение. Из уравнения находим . Известно, что.Получаем , откуда находим два значения и . Подставляя поочередно эти значения в уравнение , где в качестве точки берется точка , получим два уравнения: и .

Пример 5. Найти координаты проекции точки на прямую .

Решение. Точку можно найти как точку пересечения прямых и . Вектор является направляющим вектором прямой , следовательно, ее каноническое уравнение или . Решая систему , получим , .

Пример 6. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

Решение. Уравнение запишем в виде , откуда может слу-жить направляющим вектором для прямой . Каноническое уравнение прямой : . Точку найдем как точку пересеченияПрямых и : , ,

Используя формулу деления отрезка в данном отношении, получим: , , откуда , .

Пример 7. Найти уравнения касательных к окружности с центром в точке и радиуса 3, параллельных прямой .

Решение. У параллельных прямых общая нормаль , следовательно, уравнения касательных имеют вид . Касательные удалены от центра на расстояние , поэтому , откуда , . Получаем два уравнения касательных: и .

Пример 8. Написать уравнение прямой, параллельной прямой и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.

Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой . Площадь прямоугольного треугольника , где и его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:

;

Итак, . Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: и .

Пример 9. Даны координаты трех вершин прямоугольной трапеции : . Составить уравнения всех ее сторон.

Решение. Зная координаты точек и , можно найти , тогда уравнение : или , нормаль которой служит направляющим вектором прямой , поэтому уравнение имеет вид или . Так как прямые и параллельны, то у них общая нормаль, поэтому уравнение запишем в виде или . Уравнение прямой можно получить как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: или .