2.6 Векторное и смешанное произведения векторов

Определение. Векторным произведением двух ненулевых, неколлинеарных векторов и называется вектор обозначаемый и удовлетворяющий трем условиям:

1) и (то есть перпендикулярен плоскости, определяемой векторами и , если они отложены от одной точки);

2) – правая тройка (т. е., если приведены к общему началу, то из конца поворот от вектора к вектору на меньший угол виден происходящим против часовой стрелки);

3) , где .

Заметим, что все условия в этом определении равноправны, т. е. нельзя отдавать предпочтение какому либо условию или пренебрегать любым из них.

Свойства векторного произведения.

1. .

2. , где – скаляр.

3. .

4. – равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и . (Геометрический смысл векторного произведения.)

5. Для того, чтобы ненулевые векторы И были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы . В частности .

6. Если заданы декартовы координаты векторов и , то можно представить в виде:

. (13)

Определение. Смешанным произведением трех ненулевых, некомпланарных векторов называется скалярное произведение векторов и . Обозначается или .

Свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов геометрически равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если – правая тройка и со знаком минус, если – левая тройка.

2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

3. , т. е. смешанное произведение не изменяется при круговой (циклической) перестановке всех сомножителей, а перестановка двух сомножителей меняет знак произведения.

4. Если векторы заданы декартовыми координатами , и , то

. (14)

Пример 26. Найти , если , . В ответе укажите координаты .

Решение. В декартовом базисе векторное произведение ищется по формуле (13):

, то есть .

Пример 27. Найти , если , .

Решение. Поскольку у векторов И третья координата отсутствует, то можно положить , и применить ту же формулу, что и в предыдущем примере:

Пример 28. Найти , если , .

Решение. Bекторное произведение найдено в примере 26, тогда .

Пример 29. Найти , если , , , , .

Решение. Базис – аффинный, поэтому формула (13) неприменима.

Найдем , используя свойства векторного произведения: . Тогда .

Пример 30. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , , где , , .

Решение.

. Так как , а , то получаем:

Заметим, что одной из самых распространенных ошибок является неверное использование геометрического смысла векторного произведения, а именно, полагают, что . Однако такое равенство лишено смысла, так как в левой его части стоит число, а в правой – вектор.

Пример 31. Вычислить , если , , .

Решение. В декартовом базисе смешанное произведение находят с помощью определителя третьего порядка по формуле (14):

Пример 32. При каком , если оно существует, векторы , и компланарны?

Решение. Для компланарности трех векторов необходимо и достаточно обращение в нуль их смешанного произведения, поэтому . Раскрывая определитель, получим , откуда .

Пример 33. Смешанное произведение . Найти .

Решение. Найдем искомое смешанное произведение, пользуясь его свойствами:

, так как смешанное произведение, содержащее два одинаковых сомножителя, равно 0, в силу того, что всегда можно так переставить сомножители, что вектор будет умножаться сам на себя векторно, а .