2.2 Базис и координаты на прямой, плоскости и в пространстве
Пусть на плоскости задан ненулевой вектор , тогда для любого вектора
, лежащего на этой же прямой, существует единственное вещественное число
, такое, что
, (1)
При этом называют базисным вектором,
– координатой
относительно базиса
.
Если на плоскости заданы два ненулевых, неколлинеарных вектора и
, то для любого вектора
, лежащего в этой же плоскости, существует единственная пара чисел
и
, таких, что
, (2)
При этом совокупность ,
называется базисом,
– координатами
относительно этого базиса. Подчеркнем, что так как
и
неколлинеарны, то они линейно независимы.
Если в пространстве заданы три ненулевых, некомпланарных (а, следовательно, линейно независимых) вектора , то для любого вектора
существует единственная тройка чисел
таких, что
, (3)
При этом совокупность называется базисом,
– координатами
относительно этого базиса.
Линейные комбинации вида (1), (2), (3) называют разложением вектора по базису.
Объединяя три случая, можно дать следующее определение:
Определение. Коэффициенты линейной комбинации, при помощи которой вектор выражается через базис, называются координатами вектора
относительно этого базиса.
Теорема 5. Линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами.
Введенные базисы на плоскости и в пространстве называют аффинными. Аффинный базис называется декартовым, если он состоит из единичных взаимно перпендикулярных векторов. Векторы декартова базиса обозначают . Координаты вектора
относительно декартова базиса обозначают через
.
Определение. Система, состоящая из произвольной точки 0 и векторного аффинного базиса пространства, называется аффинной системой координат этого пространства, точка 0 – начало аффинной системы координат.
![]() |

![]() |
Аффинная система координат называется декартовой, если ее векторный базис – декартов.
Определение. Радиус-вектором точки в аффинной или декартовой системе координат называется вектор
, где
– начало системы координат.
Определение. Координатами точки относительно некоторого базиса называются координаты ее радиус-вектора относительно этого базиса.
Теорема 6. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.
Пример 9. Заданы векторы и
. Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение
по базису
.
Решение. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны. В нашем случае , следовательно,
.
Пример 10. Относительно некоторого базиса даны векторы ,
и
. Убедиться, что векторы
и
можно взять за базис и найти координаты
в этом базисе.
Решение. Координаты и
не пропорциональны, следовательно,
не параллелен
, значит, они линейно независимы и их можно принять за базис. Обозначим искомые координаты
через
и
, тогда
. По теореме 5 получим систему
из которой находим
;
.
Пример 11. В декартовом базисе заданы векторы
,
,
и
.
1. Найти координаты вектора в базисе
.
2. Убедиться, что векторы образуют базис.
3. Найти координаты вектора в базисе
и написать разложение
по этому базису.
Решение. 1. Вектор является линейной комбинацией векторов
, следовательно,
или
.
2. Базис состоит из линейно независимых векторов, значит линейная комбинация векторов обратится в
только если все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Найдем эти коэффициенты из условия
,
Или
. Так как
– линейно независимы, то это равенство возможно, если все коэффициенты обратятся в
:
, следовательно,
– линейно независимы и образуют базис.
3. Разложение вектора по базису
имеет вид:
, где
– координаты вектора
в этом базисе. По теореме 5 имеем:
Решая эту систему, найдем , т. е.
,
.
Пример 12. Вектор отложен от точки
. Конец его оказался в точке
. Найти координаты точки
.
Решение. Обозначим координаты точки через
. По теореме 6:
,
,
, откуда
.
Пример 13. Даны точки ,
. Найти значения
и
, при которых точка
, лежит на прямой
.
Решение. Векторы и
коллинеарны, следовательно
, откуда
,
.
Пример 14. Даны три последовательные вершины параллелограмма
,
,
. Найти координаты четвертой вершины
.
Решение. Пусть , тогда
,
. Так как
, то их соответствующие координаты равны, поэтому
,
,
. Откуда
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|