2.2 Базис и координаты на прямой, плоскости и в пространстве
Пусть на плоскости задан ненулевой вектор , тогда для любого вектора , лежащего на этой же прямой, существует единственное вещественное число , такое, что
, (1)
При этом называют базисным вектором, – координатой относительно базиса .
Если на плоскости заданы два ненулевых, неколлинеарных вектора и , то для любого вектора , лежащего в этой же плоскости, существует единственная пара чисел и , таких, что
, (2)
При этом совокупность , называется базисом, – координатами относительно этого базиса. Подчеркнем, что так как и неколлинеарны, то они линейно независимы.
Если в пространстве заданы три ненулевых, некомпланарных (а, следовательно, линейно независимых) вектора , то для любого вектора существует единственная тройка чисел таких, что
, (3)
При этом совокупность называется базисом, – координатами относительно этого базиса.
Линейные комбинации вида (1), (2), (3) называют разложением вектора по базису.
Объединяя три случая, можно дать следующее определение:
Определение. Коэффициенты линейной комбинации, при помощи которой вектор выражается через базис, называются координатами вектора относительно этого базиса.
Теорема 5. Линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами.
Введенные базисы на плоскости и в пространстве называют аффинными. Аффинный базис называется декартовым, если он состоит из единичных взаимно перпендикулярных векторов. Векторы декартова базиса обозначают . Координаты вектора относительно декартова базиса обозначают через .
Определение. Система, состоящая из произвольной точки 0 и векторного аффинного базиса пространства, называется аффинной системой координат этого пространства, точка 0 – начало аффинной системы координат.
Аффинная система координат называется декартовой, если ее векторный базис – декартов.
Определение. Радиус-вектором точки в аффинной или декартовой системе координат называется вектор , где – начало системы координат.
Определение. Координатами точки относительно некоторого базиса называются координаты ее радиус-вектора относительно этого базиса.
Теорема 6. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.
Пример 9. Заданы векторы и . Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение по базису .
Решение. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны. В нашем случае , следовательно, .
Пример 10. Относительно некоторого базиса даны векторы , и . Убедиться, что векторы и можно взять за базис и найти координаты в этом базисе.
Решение. Координаты и не пропорциональны, следовательно, не параллелен , значит, они линейно независимы и их можно принять за базис. Обозначим искомые координаты через и , тогда . По теореме 5 получим систему из которой находим ; .
Пример 11. В декартовом базисе заданы векторы , , и .
1. Найти координаты вектора в базисе .
2. Убедиться, что векторы образуют базис.
3. Найти координаты вектора в базисе и написать разложение по этому базису.
Решение. 1. Вектор является линейной комбинацией векторов , следовательно, или .
2. Базис состоит из линейно независимых векторов, значит линейная комбинация векторов обратится в только если все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Найдем эти коэффициенты из условия , Или . Так как – линейно независимы, то это равенство возможно, если все коэффициенты обратятся в : , следовательно, – линейно независимы и образуют базис.
3. Разложение вектора по базису имеет вид: , где – координаты вектора в этом базисе. По теореме 5 имеем:
Решая эту систему, найдем , т. е. , .
Пример 12. Вектор отложен от точки . Конец его оказался в точке . Найти координаты точки .
Решение. Обозначим координаты точки через . По теореме 6: , , , откуда .
Пример 13. Даны точки , . Найти значения и , при которых точка , лежит на прямой .
Решение. Векторы и коллинеарны, следовательно , откуда , .
Пример 14. Даны три последовательные вершины параллелограмма , , . Найти координаты четвертой вершины .
Решение. Пусть , тогда , . Так как , то их соответствующие координаты равны, поэтому , , . Откуда .
< Предыдущая | Следующая > |
---|