2.1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Определение. Геометрическим вектором называется направленный отрезок , где – начало, – конец вектора.

Длиной или модулем называется длина отрезка (расстояние между точками и ). Обозначают .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором и обозначается . Модуль нуль-вектора равен нулю. Нуль-вектору не приписывается никакое направление.

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

В векторной алгебре рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, начальная и конечная точки которых могут быть выбраны произвольно (в отличие от связанных векторов, рассматриваемых в механике, которые определяются не только модулем и направлением, но и точкой приложения). Существует другое (аксиоматическое) определение вектора как элемента векторного пространства. Поскольку, как убедимся позже, вектор однозначно определяется своими координатами относительно фиксированного базиса, то можно определить вектор, как упорядоченную совокупность чисел (вообще говоря, не обязательно вещественных).

В этой главе мы будем рассматривать геометрические векторы.

Определение. Коллинеарными векторами называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарные векторы – векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если векторы и коллинеарны и одинаково направлены, то пишут . Если коллинеарные векторы и противоположно направлены, то пишут .

Определение. Два вектора и называются равными, если и .

Над векторами вводятся операции сложения, вычитания и умножения вектора на число (скаляр) по следующим правилам:

 

 

 

 

 

Определение. Операции сложения (вычитания) векторов и умножение вектора на скаляр называются линейными операциями.

Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор , а числа – коэффициентами линейной комбинации.

Определение. Совокупность векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что

. (*)

Если же (*) выполняется только когда все , то векторы называются линейно независимыми.

Геометрический смысл линейной зависимости:

1) для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность;

2) для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность.

Теорема 1. Для линейной зависимости векторов необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Теорема 2. Если часть векторов линейно зависима, то и вся совокупность векторов – линейно зависима.

Теорема 3. Всякая подсистема линейно независимых векторов также линейно независима.

Теорема 4. На плоскости существует не более двух, а в пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Пример 1. Векторы направлены по сторонам правильного шестиугольника и по длине совпадают с ними (рис. 1.)

Укажите:

1) пары коллинеарных векторов;

2) пары противоположно направленных векторов;

3) пары равных векторов.

Решение:

1) и – противоположно направленные векторы;

2) и , и , и – пары коллинеарных векторов, то есть ;

3) Равные векторы и , и , то есть .

Пример 2. В треугольнике дано , . Выразить вектор через и .

Решение.

Из чертежа видно, что , тогда .

Пример 3. Дан треугольник . Найти сумму медиан.

Решение.

Очевидно, что .

Складывая, получим

.

Таким образом, медианы треугольника в свою очередь могут служить сторонами некоторого (другого) треугольника.

Пример 4. Векторы и линейно независимы. При каких и , если они существуют, векторы , , образуют треугольник?

Решение. Векторы образуют треугольник, если , . Так как по условию и линейно независимы, то последнее равенство возможно только если и , откуда и .

Пример 5. Векторы – линейно независимы и , , . Линейно зависимы ли системы векторов: 1) ; 2) ?

Решение. Векторы и будут линейно зависимыми, если найдутся числа и , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что или . Так как по условию – линейно независимы, то это равенство возможно только когда , следовательно, векторы – линейно независимы.

Аналогично для системы : или . В силу линейной независимости получим: , . Итак, линейная комбинация векторов обращается в , если l, а l могут принимать любые ненулевые значения, то есть система – линейно зависима.

Пример 6. Доказать, что всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, линейно зависима.

Решение. Для системы векторов соотношение (*) примет вид: и будет выполняться, если в качестве взять любое число, не равное нулю, а остальные положить равными 0.

Пример 7. Ненулевые и неколлинеарные векторы и лежат в одной плоскости . Вектор лежит в плоскости , а вектор перпендикулярен плоскости . Исследовать на линейную зависимость системы векторов: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. Векторы компланарны, следовательно, линейно зависимы, – не компланарны, а значит линейно независимы. Векторы – не коллинеарны, следовательно, линейно независимы.

Пример 8. Векторы и ненулевые и линейно зависимы, и – линейно независимы. Линейно зависимы ли системы векторов: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. Векторы линейно независимы в силу теоремы 3, – линейно зависимы по теореме 2, векторы – линейно зависимы, как всякая система векторов, содержащая нуль-вектор (см. пример 6).

< Предыдущая		Следующая >