16.07. Свойства смежных классов (сформулированы для левых, но справедливы и для правых)

1°. AÎH Þ AH º H. Доказать самостоятельно.

2°. A-1BÎH Þ AH = BH. ◀ A-1BH º H (из 1°) и тогда BH = (Aa-1)BH = A(A-1BH) = AH ▶

3°. Два смежных класса одной подгруппы H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть АН и BH имеют общий элемент, т. е. для H1, H2ÎH, Ah1 = Bh2 Þ A-1B = ÎH И т. к. (из 2°) ▶

4°. AÎAH. Доказать самостоятельно.

Пусть Н такая подгруппа G для которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае, АН = На, "AÎG. Подгруппа Н для которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами Называется нормальным делителем группы G.

Т°. Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –

смежный класс.

◀ АН, BН – смежные классы, АН×BН = A(Н×B)H = A(BH)H = (Ab)H×H = (Ab)H ▶

< Предыдущая		Следующая >