06.5. Критерий Сильвестра

4°. Для того чтобы форма j(X, X) была положительно определена необходимо и доста­точно, чтобы DI > 0 ("I = 1, 2, …, N).

◀ Достаточность. Если DI > 0, то , где Т. е. lI > 0 и тогда форма j(X, X) > 0.

Необходимость: j(X, X) > 0. покажем, что DK > 0. От противного:

А) Предположим, что DK > 0, DI < 0 и нет DJ= 0 по Якоби $lI тогда j(X, X) < 0 если: , что противоречит положительной определенности квадратичной формы.

Б). Пусть DK = 0, , т. е. одна из строк минора есть линейная комбинация остальных:

M1j(F1, Fi) + … + mKJ(Fk, Fi) = 0, mK ¹ 0, I = 1, 2, …, K,

J(m1F1 + … + mk Fk, Fi) = 0 Þ "I = 1, 2, …, K Þ

Þ Þ j(X, X) = 0, X ¹ 0. Вновь получено противоречие с положительной определенностью формы. ▶

5°. Для того чтобы форма j(X, X) была отрицательно определена необходимо и доста­точно чтобы: D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0 … (главные миноры чередуются по знаку, начиная с “–”).

◀ Если форма j(X, X) отрицательно определена, то форма j­–(X, X) = –j(X, X) положительно определена. Тогда матрицы формы j(X, X) отличаются на множитель (–1) а, следовательно, миноры DK отличаются на множитель (–1)K . ▶

< Предыдущая		Следующая >