05.8. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. (метод исключения неизвестных)

Решить систему уравнений: .

Записав расширенную матрицу системы, преобразуем ее с помощью преобразований не изменяющих ранг матрицы. Цель: в первом столбце все элементы, кроме одного, должны стать равными нулю. Это равносильно тому, что из 2го, 3го и 4го уравнений будет исключена неизвестная Х1. Для достижения цели первую строку, умноженную на 2, –3 и –1 прибавим, соответственно, к 2ой, 3ей и 4ой строке. Получим:

~.

Примечание: здесь и в дальнейшем знак ~ , стоящий между двумя матрицами означает, что справа и слева от этого знака стоят матрицы одинакового ранга и, следовательно, системы линейных уравнений с такими матрицами имеют одинаковые решения.

Далее вторую строку, умноженную на –1 прибавим к 4ой строке, тем самым исключив Х2 из третьего и четвертого уравнений и, наконец исключим Х3 из 4го уравнения, прибавив третью строку, умноженную на –1 к четвертой:

~ ~ .

Имеем rangA = Rangà = 3. Система совместна. N – R = 5 –3 = 2, dimL = dimM = 2. Так как, размерность пространства решений однородной системы равна 2, то в системе имеется две свободных неизвестных. Выберем в качестве свободных переменных Х3, Х4. Отделим в матрице свободные неизвестные вертикальной пунктирной линией: .

Положив Х4 = 1, Х5 = 1, получим Х1 = Х2 = х3 = 1. Т. е. частное решение неоднородной системы (1, 1, 1, 1, 1).

Далее рассмотрим однородную систему уравнений с матрицей . Тогда

.

Положив Х4 = 1, Х5 = 0 Þ Е1(2, 2, –6, 1, 0). Положив Х4 = 0, Х5 = 1 Þ Е2(2, 2, –7, 0, 1), (Е1, Е2 – ба­зис пространства решений). Отсюда Х = (1,1,1,1,1) + a(2,2,–6,1,0)+ b(2,2,–7,0,1), где a, b – любые.

Если положить Х4 = Х5 = 0, то получим Х3 = 14, Х2 = –3, Х1 = –3, т. е. (–3, –3, 14, 0, 0) еще одно частное решение данной системы. Следовательно, общее решение исходной системы можно записать и в таком виде: Х = (–3, –3, 14, 0, 0) + a(2, 2, –6, 1, 0) + b(2, 2, –7, 0, 1), где a, b – любые.

Нужно обратить внимание и на то, что разность двух частных решений неоднородной системы (–3, –3, 14, 0, 0) – (1, 1, 1, 1, 1) есть решение соответствующей однородной системы уравнений.

< Предыдущая		Следующая >