04.04. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы

Функционал j(Х, У) Называется симметричным, если j(Х, Y) = j(Y, Х). (При этом j(Ei, Ej) = j(Ej, Ei) т. е. Uij = Uji).

Функционал j(Х, Y) Называется антисимметричным, если j(Х, Y) = –j(Y, Х) (При этом j(Ei, Ej) = – j(Ej, Ei) т. е. Uij = –Uji).

Если в заданной билинейной форме j(Х, Y) положить Х = У, то получим частный случай билинейной формы – квадратичную форму.

2°. Любой билинейный функционал можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного функционалов.

◀ jS(Х, Y) = (j(Х, У) + j(Y, Х))/2, jА(Х, Y) = (j(Х, У) – j(Y, Х))/2. ▶

3°. Каждому билинейному симметричному функционалу (билинейной форме) можно поставить в соответствие квадратичную форму и наоборот.

◀ *) j(Х, Y) = j(Y, Х) Û j(Х, Х);

**) j(Х + Y, Х + У) = j(Х, Х) + j(Х, Y) + j(Y, Х) + j(У, У) = j(Х, Х) + 2j(Y, Х) + j(У, У) Þ

Þ j(Х, У) = [j(Х + Y, Х + У) – j(Х, Х) – j(У, У)]. ▶

4°. Если билинейный функционал антисимметричен, то соответствующая ему квадратичная форма равна нулю.

◀ j(Х, Y) = –j(Y, Х). Полагая в данном равенстве Y=X получим j(Х, Х) = –j(Х, Х) = 0. ▶

< Предыдущая		Следующая >