03.4. Полнота метрических пространств

Последовательность ÎХ Называется фундаментальной или сходящейся в себе, если "e > 0 $N ½"N, M > N r(Хn, Хm) < e.

4°. Любая фундаментальная последовательность ограничена.

◀ e0 > 0 $N0½"M > N r(Хm, ) < e0. Тогда все элементы последовательности принадлежат шару с центром Х0 и радиуса Z0 = max{e0, r(Х1, ), … , r(, )}. ▶

5°. Если последовательность сходится, то она фундаментальна.

◀ Пусть ® Х0. Тогда "e > 0 $N "N > N r(Хn, X0) < e/2. Кроме того,

R(Хn, Xm) £ r(Хn, X0) + r(Х0, Xm) < e "N, M > N. ▶

Для множества вещественных чисел справедливо и обратное утверждение: любая фундаментальная последовательность – сходится.

В общем случае это не так. Подтверждением этого служит факт, что последовательность рациональных чисел не обязательно сходится к рациональному числу.

Def: Метрическое пространство Называется полным если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу этого же метрического пространства.

В каждом метрическом пространстве имеет место теорема – аналогичная теореме о вложенных сегментах для действительных чисел.

6°. Пусть в полном метрическом пространстве Х задана последовательность (An, eN) замкнутых шаров, вложенных друг в друга, т. е. (An+1, eN+1) Ì (An, eN) "NÎN.

Если последовательность радиусов eN ® 0 , то существует и единствен элемент Х0ÎХ, который принадлежит всем этим шарам т. е. $!Х0Î(An, eN) "NÎN. ◀ ▶

Полными метрическими пространствами являются множества R и C (вещественных и комплексных чисел) и не является множество Q (рациональных чисел).

< Предыдущая		Следующая >