01.15. Координаты вектора в зхаданном базисе

23°. Пусть V – линейное пространство, dimV = N и – базис в V. Тогда "XÎV Существует единственный набор , aIÎK Такой, что X =.

◀ Представление X = следует из полноты .

Единственность. Пусть X = и X =. Тогда q = X – x = – =

= и, следовательно, в силу линейной независимости , "I aI – a¢I = 0 т. е. aI = a¢I. ▶

Теперь ясно, что если в пространстве V задан базис , то каждому вектору XÎV можно поставить в соответствие (причем единственным образом) набор чисел a1, a2, …, aNÎK. Это записывают так: X ↔ (a1, a2, …, aN) или X = (a1, a2, …, aN). Величины aI Называются координатами вектора X в базисе . При этом, (что очень важно), если X = (a1, a2, …, aN) и Y = (b1, b2, …, bN), то X⊕ y = (a1 + b1, a2 + b2, … , aN+ bN) и g⊙ X = = (ga1, ga2, …, gaN), т. е. операции ⊕ и ⊙ заменены покоординатным сложением и умножением на элемент внешнего поля K.

Другими словами, введение понятия базиса векторного пространства V над полем K и координат векторов в этом базисе абстрактные операции сложения для элементов линейного пространства и умножения их на скаляры из внешнего поля K Позволяет свести к операциям покоординатного сложения и умножения на скаляр, т. е. к умножению и сложению в поле K.

< Предыдущая		Следующая >