10. Тема 7. Численное интегрирование

Пусть функция описывает производительность предприятия после модернизации с течением времени T, где T — число месяцев. Требуется найти объем продукции, произведенный в третьем месяце после модернизации производства.

Решение. Объем продукции будет равен интегралу . Для его вычисления воспользуемся формулой трапеций и формулой Симпсона.

Вычислим интеграл по формуле трапеций. Зададим точность вычислений и определим шаг интегрирования , необходимый, чтобы обеспечить требуемую точность. Шаг интегрирования определяется условием (см. Л7): , т. е. . Найдем . Дифференцируя , получаем .
Эта производная является монотонно убывающей функцией, поэтому
она достигает максимума в точке . Таким образом,
и . Примем и вычислим значение функции в точках , , , , , :

; ; ;

; ; .

Тогда по формуле (Л7.8) имеем:

Точное значение интеграла , тогда фактическая погрешность равна .

Вычислим интеграл по формуле Симпсона с точностью . Аналогично методу трапеций найдем шаг интегрирования из неравенства (см. Л7). , т. е. . Примем , тогда по формуле (Л7.9) имеем:

Фактическая погрешность равна . Шаг интегрирования по формуле Симпсона получился более чем в два раза крупнее шага, соответствующего формуле трапеций, несмотря на то, что точность вычислений была в 25 раз меньше. Это является следствием того, что формула Симпсона имеет четвертый порядок аппроксимации, а формула трапеций — второй. В связи с повышенной точностью формулы Симпсона она нашла широкое применение в вычислительной практике.

Задачи для самостоятельного решения по теме 7

1. Пусть функция Лоренца, выражающая зависимость неравномерного распределения доходов в обществе, имеет вид , где — доля населения с наименьшими доходами. Чем больше отклоняется от прямой , тем более неравномерно распределены доходы населения. Степень этой неравномерности выражает коэффициент Джинни . Найти приближенное значение интеграла по формуле трапеций и формуле Симпсона с точностью и сравнить с точным значением интеграла, найденным аналитически.

2. Пусть кривая спроса имеет вид , а кривая предложения , где — объем товара. Определить, используя формулу Симпсона, выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков , где — точка равновесия, т. е. в этой точке . Шаг интегрирования выбрать равным 1. Вычислить фактическую погрешность, сравнив приближенное решение с точным, найденным аналитически.

< Предыдущая		Следующая >