08. Тема 5. Проблема собственных значений

Доказать, что модель Леонтьева с матрицей является продуктивной (см. [5, 6]), и найти собственный вектор , соответствующий числу , если модель продуктивна.

Решение. Для решения задачи нужно показать, что максимальное
по модулю, положительное, вещественное собственное число матрицы меньше единицы. Это можно показать различными способами, рассмотрим два из них. Первый способ заключается в поиске всех собственных значений методом вращений, а вторым способом можно найти сразу максимальное по модулю собственное число с помощью алгоритма, описанного в теме 5 конспекта лекций.

1. Найдем все собственные числа и собственные векторы матрицы
методом вращений (см. Л5).

Положим , , .

Выделим максимальный по модулю элемент в наддиагональной части: . Так как , то процесс продолжается.

Находим угол поворота из формулы (Л5.4):

.

Сформируем матрицу вращения: .

Выполним первую итерацию:

.

Положим и перейдем ко второй итерации.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент , следовательно, процесс продолжается. Найдем угол поворота:

.

Сформируем матрицу вращения: .

Выполним вторую итерацию:

.

Положим и перейдем к третьей итерации.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент , следовательно, процесс продолжается. Найдем угол поворота:

.

Сформируем матрицу вращения: .

Выполним третью итерацию:

.

Положим и перейдем к четвертой итерации.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент , следовательно, итерационный процесс завершается. Собственные значения: ; ; . Поскольку , то модель Леонтьева является продуктивной.

Для нахождения собственных векторов вычислим

,

Отсюда собственные векторы равны: , , , а , поскольку соответствует .

2. Найдем максимальное по модулю собственное число матрицы
и соответствующий ему собственный вектор, воспользовавшись теоремой 1 из Л5. Зададим точность . Если , то процесс останавливается. Результаты работы алгоритма представлены в табл. 8.

Таблица 8

Итерация №
0	(1 0 0)	(0,5 0,1 0,2)	0,5477
1	(0,1929 0,1826 0,3652)	(0,5477 0,2008 0,3104)	0,6681
2	(0,8289 0,3039 0,4697)	(0,5388 0,2514 0,3371)	0,6835
3	(0,7883 0,3679 0,4932)	(0,5296 0,2753 0,3424)	0,6881
4	(0,7696 0,4001 0,4976)	(0,5243 0,2868 0,3432)	0,6892
5	(0,7608 0,4161 0,4980)	(0,5216 0,2923 0,3432)	0,6894

Поскольку , то итерации завершаются, и полагаем, что , а .

Для сравнения найденных значений приведем точные значения: , , полученные с помощью программы Mathcad.

Задачи для самостоятельного решения по теме 5

1. Проверить продуктивность модели Леонтьева для матрицы A
из задания 1 темы 3 двумя методами, изложенными выше.

< Предыдущая		Следующая >